欧拉公式是数学中一个极为重要的公式，它将指数函数与三角函数联系起来，揭示了复数、指数和几何之间的深刻关系。公式的形式为：e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)，其中 \( e \) 是自然对数的底数，\( i \) 是虚数单位（满足 \( i^2 = -1 \)），而 \( x \) 是任意实数。

推导过程

欧拉公式的推导基于泰勒级数展开法。首先，我们将 \( e^x \)、\(\cos(x)\) 和 \(\sin(x)\) 的泰勒展开式写出来：

- 指数函数的泰勒展开：

\[

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

\]

- 余弦函数的泰勒展开：

\[

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

\]

- 正弦函数的泰勒展开：

\[

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\]

接下来，考虑 \( e^{ix} \)，将其代入指数函数的泰勒展开式：

\[

e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots

\]

由于 \( i^2 = -1 \)，我们可以逐项计算并整理实部和虚部：

\[

e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \cdots

\]

将实部和虚部分开，得到：

\[

e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\right)

\]

观察发现，括号中的第一部分正是 \(\cos(x)\) 的泰勒展开式，第二部分则是 \(\sin(x)\) 的泰勒展开式。因此，我们得出结论：

\[

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)

\]

这就是著名的欧拉公式。特别地，当 \( x = \pi \) 时，公式变为 \( e^{i\pi} + 1 = 0 \)，这一等式被称为“最美丽的数学公式”，因为它简洁地连接了五个最重要的数学常数：\( e \)、\( i \)、\( \pi \)、\( 1 \) 和 \( 0 \)。

通过欧拉公式，我们不仅得到了指数函数与三角函数之间的联系，还为复数分析奠定了基础，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。