在数学领域，特别是微积分中，求导是一种基本的操作，它帮助我们理解函数的变化率。当我们讨论除法形式的函数求导时，比如函数$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，我们可以使用所谓的“商规则”或“除法法则”来找到其导数。

除法法则

假设我们有一个函数$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，其中$g(x)$和$h(x)$都是可导的函数，并且$h(x) \neq 0$。那么，$f(x)$的导数$f'(x)$可以通过下面的公式计算：

\[f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\]

这个公式可以理解为分子部分是两个乘积之差：第一个乘积是$g(x)$的导数与$h(x)$的乘积；第二个乘积是$g(x)$与$h(x)$的导数的乘积。分母则是$h(x)$的平方。

应用示例

让我们通过一个具体的例子来应用这个法则。考虑函数$f(x) = \frac{x^2}{x+1}$。这里，$g(x) = x^2$，$h(x) = x + 1$。

首先，我们需要找到$g(x)$和$h(x)$的导数：

- $g'(x) = 2x$

- $h'(x) = 1$

然后，将这些值代入到除法法则中：

\[f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}\]

这样，我们就找到了$f(x) = \frac{x^2}{x+1}$的导数。

结论

除法法则为我们提供了一种系统化的方法来计算形如$\frac{g(x)}{h(x)}$的函数的导数。通过理解和熟练掌握这一法则，我们可以更有效地解决涉及复杂函数的微积分问题。记住这个法则，并尝试在不同的函数上练习，可以帮助加深对它的理解。